Question

宽为a的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为8a的细杆能水平地通过拐角，则另一走廊的宽度至少是多少？

Answer 1

分析：设细杆与另一走廊一边的夹角为θ(0＜θ＜

π

2

)，根据图可知y(θ)=BCsinθ=8asinθ-

asinθ

cosθ

(0＜θ＜

π

2

)整理可得函数．“如果长为8a的细杆能水平地通过拐角，求另一走廊的宽度至少是多少”，关键看函数y（θ）的最小值，先研究其单调性，用导数法，先求导，由y'（θ）＞0，y（θ）为增函数，可知当 θ=

π

3

时，y（θ）有最小值，即可得到结论．

解答：解：如图，设细杆与另一走廊一边的夹角为θ(0＜θ＜

π

2

)，
设另一走廊的宽为y，∵AB=

a

cosθ

，BC=8a-

a

cosθ

，∴y(θ)=BCsinθ=8asinθ-

asinθ

cosθ

(0＜θ＜

π

2

)
依题意必存在一个适当的0值使y最小．
由y′(θ)=8acosθ-

asin2θ+acos2θ

cos2θ

=8acosθ-

a

cos2θ

令y'=0得cos3θ=

1

8

，得csoθ=

1

2

，θ=

π

3

，
当cosθ＜

1

2

时，y'＜0，当cosθ＞

1

2

时，y'＞0，
∴当cosθ=

1

2

，即θ=

π

3

时，ymin3

3

a，即另一走廊的宽度至少是3

3

a

点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，解答关键是还利用三角函数的定义求出函数表达式，再利用导数法求函数最值等．