Question

如图，宽为a的走廊与另一宽为b的走廊垂直相连，设细杆AC的长为l，∠ACD=α
（1）试用a，b，α表示l；
（2）当b=a时，求当细杆AC能水平通过拐角时l的最大值；
（3）当l=8a时，问细杆AC能水平通过拐角，则另一走廊宽b至少是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB=，BC=，可表示出l，注意角α范围；
（2）l==，令t=sinα+cosα=sin（），则l==，t，利用导数可求得l的最小值，从而可得答案；
（3）由（1）可得：b=8asinα-a•，，利用导数可求得b的最小值；
解答：（解：（1）AB=，BC=，
∴l=AB+BC=，∴l=，；
（2）l==，
令t=sinα+cosα=sin（），
∵0＜，∴t，，
∴l==，t，
而＜0，
∴l=在t上是减函数，且当t大于1且无限趋近于1时，l→+∞，∴l∈[4，+∞），
∴细杆AC能水平通过拐角时l的最大值为4．
（3）由（1）可得：b=8asinα-a•，，
b′=8acosα-==，
令b′=0，则cosα=，，
当0＜时，b′＜0；    当时，b′＞0，
∴当时，，
∴另一走廊的宽至少为a．
点评：本题考查导数在解决实际问题中的应用，考查导数求函数的最值，考查学生对题目的理解分析能力．