Question

【题目】设数组，，，数称为数组的元素．对于数组，规定：

①数组中所有元素的和为；

②变换，将数组变换成数组，其中表示不超过的最大整数；

③若数组，则当且仅当时，．

如果对数组中任意个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组具有性质．

（Ⅰ）已知数组，，计算，，并写出数组是否具有性质；

（Ⅱ）已知数组具有性质，证明：也具有性质；

（Ⅲ）证明：数组具有性质的充要条件是．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）数组是具有性质，数组不具有性质．（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）根据题意，即可容易得，则可判断；

（Ⅱ）对都为奇数和都为偶数，结合性质的定义，即可证明；

（Ⅲ）从充分性和必要性上，结合（Ⅱ）中所求，即可证明.

（Ⅰ），；

数组是具有性质，数组不具有性质．

（Ⅱ）证明：当元素均为奇数时，

因为，，所以．

对中任意个元素，不妨设为．

因为数组具有性质，所以对于，

存在一种分法：将其分为两组，每组个素，使得各组内所有元素之和相等．

如果用替换上述分法中的（），

就可以得到对于的一种分法：

将其分为两组，每组个元素，显然各组内所有元素之和相等．

所以此时也具有性质．

当元素均为偶数时，

因为，，所以．

对中任意个元素，不妨设为．

因为数组具有性质，所以对于，

存在一种分法：将其分为两组，每组个元素，使得各组内所有元素之和相等．

如果用替换上述分法中的（），

就可以得到对于的一种分法：

将其分为两组，每组个元素，显然各组内所有元素之和相等．

所以此时也具有性质．

综上所述，由数组具有性质可得也具有性质．

（Ⅲ）证明：（1）充分性：显然成立．

（2）必要性：

因为数组具有性质，所以对于数组中任意个元素，存在一种分法：

将个元素平均分成2组，并且各组内所有元素之和等于同一个正整数，

所以均为偶数，从而元素的奇偶性相同．

由（Ⅱ）可知，如果数组具有性质，

那么仍具有性质．

又因为，当为奇数时，

，当且仅当时等号成立，

当为偶数时，

，

由此得到的充要条件是．

易知，

当且仅当时等号成立．

即，当且仅当时等号成立．

令，，．

假设对于任意的，有，则，

又，，得，即．

得 ，…，

，

所以，且单调递减．

又因为，矛盾．

所以存在，有．

又由结论1，得此时．

上述过程倒推回去，

因为数组均具有性质，即数组中元素

的奇偶性相同，可得数组中的所有元素都相同，

所以，数组中的元素均相同，即．