Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=

3

．
（1）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）M(

1

2

，0，

1

2

)，

DM

=(

1

2

，0，

1

2

)，

SB

=(1，1，-1)，设

DM

与

SB

的夹角为α，异面直线DM与SB所成角为θ，cosθ=|cosα|=0，由此能求出异面直线DM与SB所成角的大小．
（2）平面ASD的一个法向量

n1

=(0，1，0)，设平面BSC的一个法向量

n2

=(x，y，z)，由

n2

⊥

BC

，

n2

⊥

SB

，知

n2

=(0，1，1)，设

n1

与

n2

的夹角为β，则cosβ=

2

2

，由此能求出面ASD与面BSC所成二面角的大小．

解答：解：（1）以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，
∵四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=

3

，
∴SD=

3-2

=1，
∴S=（0，0，1），D（0，0，0），B（1，1，0），A（1，0，0），M(

1

2

，0，

1

2

)，

DM

=(

1

2

，0，

1

2

)，

SB

=(1，1，-1)，
设

DM

与

SB

的夹角为α，
异面直线DM与SB所成角为θ，
cosθ=|cosα|=0，
∴θ=

π

2

，
∴异面直线DM与SB所成角的大小为

π

2

．
（2）平面ASD的一个法向量

n1

=(0，1，0)，
设平面BSC的一个法向量

n2

=(x，y，z)，
∵

n2

⊥

BC

，

n2

⊥

SB

，
∴

-x=0 x+y-z=0

，
令y=1，则

n2

=(0，1，1)，
设

n1

与

n2

的夹角为β，则cosβ=

2

2

，
由图形得，面ASD与面BSC所成二面角的大小为

π

4

．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求解和二面角的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．