题目内容

已知向量 $数学公式$ =（sinx，-1）， $数学公式$ =（cosx，3）．
（I ）当 $数学公式$ ∥ $数学公式$ 时，求 $数学公式$ 的值；
（II）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， $数学公式$ c=2asin（A+B），函数f（x）=（ $数学公式$ + $数学公式$ ）• $数学公式$ ，求f（B+ $数学公式$ ）的取值范围．

解：（I）由 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，可得3sinx=-cosx，于是tanx=- $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．
（II）∵在△ABC中，A+B=π-C，于是sin（A+B）=sinC，
由 $\text{[math]}$ c=2asin（A+B）利用正弦定理得： $\text{[math]}$ sinC=2sinAsinC，
∴sinA= $\text{[math]}$ ，可解得 A= $\text{[math]}$ ． …（6分）
又△ABC为锐角三角形，于是 $\text{[math]}$ ＜B＜ $\text{[math]}$ ，
∵函数f（x）=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =（sinx+cosx，2）•（sinx，-1）
=sin²x+sinxcosx-2= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -2= $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ．
∴f（B+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin[2（B+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin2B- $\text{[math]}$ ．…（10分）
由 $\text{[math]}$ ＜B＜ $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ＜2B＜π，
∴0＜sin2B≤1，得- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ sin2B- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，即 f（B+ $\text{[math]}$ ）的取值范围（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ]．
分析：（I）由 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，可得tanx=- $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，运算求得结果．
（II）在△ABC中，由 $\text{[math]}$ c=2asin（A+B）利用正弦定理求得sinA= $\text{[math]}$ ，可解得 A= $\text{[math]}$ ．由△ABC为锐角三角形，得 $\text{[math]}$ ＜B＜ $\text{[math]}$ ，利用两个向量的数量积公式求得函数f（x）=
$\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ．由此可得f（B+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin2B- $\text{[math]}$ ，再根据B的范围求出sin2B的范围，即可求得f（B+ $\text{[math]}$ ）的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理，正弦函数的定义域和值域，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．