题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ （b＜0）的值域是[1，3]，
（1）求b、c的值；
（2）判断函数F（x）=lgf（x），当x∈[-1，1]时的单调性，并证明你的结论；
（3）若t∈R，求证：lg $数学公式$ ≤F（|t- $数学公式$ |-|t+ $数学公式$ |）≤lg $数学公式$ ．

解；（1）设y= $\text{[math]}$ ，则（y-2）x²-bx+y-c=0． ①
∵x∈R，∴①的判别式△≥0，即 b²-4（y-2）（y-c）≥0，即4y²-4（2+c）y+8c+b²≤0 ②
由条件知，不等式②的解集是[1，3]，
∴1，3是方程4y²-4（2+c）y+8c+b²=0的两根，故有 $\text{[math]}$ ，
∴c=2，b=-2，或b=2（舍），即f（x）= $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ．
（2）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₂＞x₁，则有 x₂-x₁＞0，且（x₂-x₁）（1-x₁x₂）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=- $\text{[math]}$ ＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），lgf（x₂）＜lgf（x₁），即F（x₂）＜F（x₁），∴F（x）为减函数．
（3）记 u= $\text{[math]}$ ，则可得 $\text{[math]}$ ，即- $\text{[math]}$ ≤u≤ $\text{[math]}$ ，
根据F（x）的单调性知，F（ $\text{[math]}$ ）≤F（u）≤F（- $\text{[math]}$ ）恒成立．
又f（ $\text{[math]}$ ）=2- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，f（- $\text{[math]}$ ）=2- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴lg $\text{[math]}$ ≤F（|t- $\text{[math]}$ |-|t+ $\text{[math]}$ |）≤lg $\text{[math]}$ 对任意实数t 成立．
分析：（1）设y= $\text{[math]}$ ，则（y-2）x²-bx+y-c=0，由判别式△≥0可得4y²-4（2+c）y+8c+b²≤0，且它的解集是
[1，3]，故1，3是方程4y²-4（2+c）y+8c+b²=0的两根，利用根与系数的关系求出b、c的值．
（2）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₂＞x₁，然后判断f（x₂）-f（x₁）的符号再由单调性的定义得出结论．
（3）记 u= $\text{[math]}$ ，则可得 $\text{[math]}$ ，即- $\text{[math]}$ ≤u≤ $\text{[math]}$ ，由F（x）的单调性可得
F（ $\text{[math]}$ ）≤F（u）≤F（- $\text{[math]}$ ），由此证得结论．
点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，函数的单调性的判断和证明，函数的单调性的应用，
属于中档题．