Question

19．设函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{2-{{（\frac{1}{2}）}^x}}（x＜0）}\\{lg（x+1）（x≥0）}\end{array}}$，若f（x₀）＜1，则x₀的取值范围是（　　）

• A． （-1，9）
• B． [-1，9）
• C． [0，9）
• D． （0，9）

Answer 1

分析 函数是分段函数，此类函数对应的不等式在求解时应分段来求，分为两类，分别解出每一部分上的解集，再取并集即可得到所求不等式的解集

解答 解：由题意，当x₀＜0是，f（x₀）＜1，即$\sqrt{2-（\frac{1}{2}）^{{x}_{0}}}$＜1，
即0≤2-$（\frac{1}{2}）^{{x}_{0}}$＜1即1＜$（\frac{1}{2}）^{{x}_{0}}$≤2，解得-1≤x₀＜0
当x₀≥0时，由f（x₀）＜1得lg（x₀+1）＜1，
解得0＜x₀+1＜10，即-1＜x₀＜10，故有0≤x₀＜9
综上得函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{2-{{（\frac{1}{2}）}^x}}（x＜0）}\\{lg（x+1）（x≥0）}\end{array}}$，f（x₀）＜1，
则x₀的取值范围是[-1，9）．
故选：B．

点评 本题考查对数不等式的解法，此类不等式主要是根据对数的单调性求得不等式的解集，利用函数的单调性解不等式，是函数单调性的重要运用，其步骤一般是这样的：观察不等式，得出其相应函数，研究函数的单调性，用单调性解不等式．