Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，A₁A=AC=BC=1，A₁B=，
(Ⅰ)求证：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
(Ⅱ)如果D为AB中点，求证：BC₁∥平面A₁CD。

Answer 1

证明：(Ⅰ)因为∠A1AC=60°，A1A=AC=1， 所以△A1AC为等边三角形，所以A1C=1， 因为BC=1，A1B=， 所以，A1C2+BC2=A1B2， 所以∠A1CB=90°，A1C⊥BC， 因为BC⊥AA1，BC⊥A1C，AA1平面ACC1A1， A1C平面ACC1A1，AA1∩A1C=A1， 所以BC⊥平面ACC1A1，  因为BC平面A1BC， 所以，平面A1BC⊥平面ACC1A1。
(Ⅱ)连接AC1交A1C于点D，连接OD， 因为ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点，  因为D为AB的中点， 所以，OD∥BC1，  因为OD平面A1CD，BC1平面A1CD， 所以，BC1∥平面A1CD。