Question

【题目】设双曲线的两支为(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。

（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；

（2）设P(-1，-1)在上，Q、R在上。求顶点Q、R的坐标。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），

【解析】

(1)用反证法.

假设正△PQR的三顶点P、Q、R位于同一支如上，其坐示分別的，不妨设0.则一定有.于是，

.

因此.

这说明△PQR是钝角三角形，与△PQR为正三角形矛盾.故P、Q、R不能位于同一支上.

(2)设Q、R的坐标为，这时QR边上的高线方程为.

它必过线段QR的中点，因此QR的中点坐标满足方程(1)，

于是有.此即 ..

，上式方括号中的式子明显大于0，则.故.

于是，Q的坐标为.而R的坐标为，这说明Q、R关于直线y=x对称.

PQ、PR所在的直线分别为过P点与y=x交成30°角的相互对称的两条直线，易见其倾斜角分别为75°和15°.不妨设PQ的倾斜角为75°，这时它的方程为

即 .将其代入双曲线方程，解得Q的坐标为，由对称性知R的坐标为.