Question

18．在正方形ABCD中，M是BD的中点，且$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AD}$（m，n∈R），函数f（x）=e^x-ax+1的图象为曲线C，若曲线C存在直线y=（m+n）x垂直的切线（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 运用中点的向量表示，可得m+n=1，求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得e^x-a=-1有解，再由指数函数的单调性，即可得到a的范围．

解答 解：在正方形ABCD中，M是BD的中点，且$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AD}$，
即有$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$），即m=n=$\frac{1}{2}$，
函数f（x）=e^x-ax+1的导数为f′（x）=e^x-a，
若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，
即有e^x-a=-1有解，
即a=e^x+1，
由e^x＞0，则a＞1．
则实数a的范围为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题考查向量共线定理，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题．