Question

已知函数F（X）=a•b^x的图象过点A（4，

1

4

）和B（5，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）记a_n=log₂f（n），n是正整数，S_n是数列{a_n}的前n项和，求满足不等式a_nS_n≤0的n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 将A（4，

1

4

）和B（5，1）代入函数解析式，解出a，b．得出函数f（x）的解析式
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上应求出a_n=2n-10，a_nS_n=2n（n-5）（n-9），将不等式转化为二次不等式求出n值即可．

解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=a•b^x的图象过点A（4，

1

4

）和B（5，1）．
所以

1 4 =a•b4   ① 1=a• b5   ②

 ②÷①得b=4，从而a=

1

1024

，
故f（x）=

1

1024

•4^x=2^2x-10   （4分）
（Ⅱ）由题意a_n=log₂2^2n-10=2n-10．
∴数列{a_n}是等差数列，所以Sn=

(a1+an)•n

2

=n（n-9），…（8分）
a_nS_n=2n（n-5）（n-9），由a_nS_n≤0 得（n-5）（n-9），5≤n≤9
∴n=5，6，7，8，9

点评：本题是函数与数列、不等式的综合，考查了方程思想，等差数列的判定，求和，及不等式的解法．属于中档题．