题目内容
已知向量
=(cosα，sinα），
=(cosβ，sinβ）且|
+
|=
|
-k
|，k＞-
，k∈R
（1）用k表示
•
；
（2）当
•
最小时，求向量
+
与向量
-k
的夹角θ．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
（1）用k表示
| a |
| b |
（2）当
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）由|
+
|2=3|
-k
|2，知（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2=3[（cosα+kcosβ）2+（sinα+ksinβ）2]，所以cos(α-β)=
．由k＞-
及|cos（α-β）|≤1，得1-
≤k≤1+
．由此能用k表示
•
．
（2）当
•
最小时，cosθ=
=
．将
2=1，
2=1，
•
=
代入可得
+
与
-k
的夹角为arccos
．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 3k2+1 |
| 3k+1 |
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| a |
| b |
（2）当
| a |
| b |
(
| ||||||||
|
|
(
| ||||||||||||||
|
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| ||
| 3 |
解答：解：（1）∵|
+
|2=3|
-k
|2，
∴（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2=3[（cosα+kcosβ）2+（sinα+ksinβ）2]
得 cos(α-β)=
…（4分）
由k＞-
及|cos（α-β）|≤1，
得1-
≤k≤1+
，
∴
•
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)
=
，k∈[1-
，1+
]…（6分）
令3k+1=t，
则t＞0，
k=
(t-1)代入上式可得
•
=
=
(t+
-2)≥
(2
-2)=
当且仅当t=2，
即k=
(t-1)时，
取“=”，(
•
)min=
…（10分）
（2）当
•
最小时，
cosθ=
=
=
…（12分）
将
2=1，
2=1，
•
=
代入上式，
得cosθ=
，θ=arccos
即
+
与
-k
的夹角为arccos
…（14分）
| a |
| b |
| a |
| b |
∴（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2=3[（cosα+kcosβ）2+（sinα+ksinβ）2]
得 cos(α-β)=
| 1 |
| 2 |
| 3k2+1 |
| 3k+1 |
由k＞-
| 1 |
| 3 |
得1-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴
| a |
| b |
=
| 1 |
| 2 |
| 3k2+1 |
| 3k+1 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
令3k+1=t，
则t＞0，
k=
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| 1 |
| 6 |
| t2-2t+4 |
| t |
| 1 |
| 6 |
| 4 |
| t |
| 1 |
| 6 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
当且仅当t=2，
即k=
| 1 |
| 3 |
取“=”，(
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
（2）当
| a |
| b |
cosθ=
(
| ||||||||
|
|
(
| ||||||||||||||
|
=
| ||||||||||||||||||||||||
|
将
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
得cosθ=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
即
| a |
| b |
| a |
| b |
| ||
| 3 |
点评：本题考查平面向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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