Question

已知函数f（x）满足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，设无穷数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若a₁=3，从第几项起，数列{a_n}中的项满足a_n＜a_n+1；
（3）若1+＜a₁＜（m为常数且m∈N，m≠1），求最小自然数N，使得当n≥N时，总有0＜a_n＜1成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数f（x）满足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，我们不得得到参数a的值，进而得到函数的表达式；
（2）要判断从第几项起，数列{a_n}中的项满足a_n＜a_n+1我们关键是构造a_n+1-a_n的表达式，结合其它已知条件解对应的不等组，即可求解．
（3）总有0＜a_n＜1成立，则数列的每一项，均符合要求，包括首项在内，由1+＜a₁＜，结合数学归纳法，即可求出满足条件的自然数N．
解答：解：（1）令x=1得2a=1，∴a=．
∴f（x）=．
（2）若a₁=3，由a₂==-1，a₃==，a₄==，
假设当n≥3时，0＜a_n＜1，则0＜a_n+1=＜=1⇒2-a_n＞0．
从而a_n+1-a_n=-a_n=＞0⇒a_n+1＞a_n．
从第2项起，数列{a_n}满足a_n＜a_n+1．
（3）当1+＜a₁＜时，a₂=，得＜a₂＜．
同理，＜a₃＜．
假设＜a_n-1＜．
由a_n=与归纳假设知＜a_n＜对n∈N^*都成立．
当n=m时，＜a_m，即a_m＞2．
∴a_m+1=＜0．
0＜a_m+2=＜＜1．
由（2）证明知若0＜a_n＜1，则0＜a_n+1=＜=1．
∴N=m+2，使得n≥N时总有0＜a_n＜1成立．
点评：本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．