Question

已知函数f（x）=|x²-8|，若a＜b≤0，且f（a）=f（b），则a+b的最小值是

-4

2

．

Answer 1

分析：根据f（x）=|x²-8|，结合f（a）=f（b），得f（a）=a²-8且f（b）=8-b²，所以a²+b²=16，且-4≤a＜-2

2

＜b≤0．令a=4cosα，b=4sinα，得a+b=4

2

sin（α+

π

4

），-π≤α≤-

3π

4

，结合正弦函数的图象与性质，可得a+b的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=|x²-8|，若a＜b≤0，且f（a）=f（b），
∴f（a）=a²-8且f（b）=8-b²，
∴a²-8=8-b²，即a²+b²=16，且-4≤a＜-2

2

＜b≤0，
令a=4cosα，b=4sinα，-π≤α≤-

3π

4

，
∴a+b=4cosα+4sinα=4

2

sin（α+

π

4

），
∵-π≤α≤-

3π

4

，
∴-

3π

4

≤α+

π

4

≤-

π

2

，
∴当α+

π

4

=-

π

2

时，4

2

sin（α+

π

4

）取最小值-4

2

，
∴a+b的最小值是-4

2

，
故答案为：-4

2

．

点评：本题以含有绝对值的二次函数为载体，考查了函数图象的对称性、三角换元法求函数值域和等知识，属于中档題．