Question

(汕头联考模拟)已知定义在R上的单调函数y=f(x)，当x＜0时f(x)＞1，且对任意的实数x、yR，有f(x＋y)=f(x)f(y)．

(1)求f(0)，并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式；

(2)数列满足且，

①求通项公式的表达式；

②令，，，试比较与的大小，并加以证明．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由题意，令y=0，x＜0，得f(x)[1－f(0)]=0，∵x＜0时，f(x)＞1． ∴1－f(0)=0．f(0)=1．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分) 适合题意的f(x)的一个解析式为．　　　　　　　　　(4分) (2)①由递推关系知，即． ∵f(x)在R上单调， ∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分) 又，故．　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7分) ②， ． ，　　　　(9分) 欲比较与的大小，只需比较与2n＋1的大小． 由n=1，2，3代入可知，猜想．　　　　　　(10分) 下用数学归纳法证明 (ⅰ)当n=1时，成立； (ⅱ)假设当n=k时命题成立，即． 当n=k＋1时，，说明当n=k＋1时命题也成立． 由(ⅰ)(ⅱ)可知，对于都成立．故．　　(12分)