Question

如果实数x、y满足x²+y²-4x+1=0,求y-x的最值.

Answer 1

思路解析：本题解法很多，可以从代数、几何以及参数方程三个方面来考虑.

 

解法一：（数形结合）设y-x=b,则y=x+b.设y=x+b.所表示的直线l对满足方程x²+y²-4x+1=0的x,y得到的点P（x,y）在此方程所示的圆上，其圆心（2,0），半径为，如图所示.则y-x即b是过圆上的任一点P，斜率为1的直线l在y轴上的截距.

由图知，直线l与圆相切时，b取最值.此时圆心（2，0）到直线l：y=x+b的距离等于半径.

∴=.

∴b=-2,b=--2.

故（y-x）_max=-2,(y-x)_min=--2.

解法二：（参数方程）∵x、y满足x²+y²-4x+1=0,即（x-2）²+y²=3,

∴设(θ为参数).

∴y-x=sinθ-(2+cosθ)=sinθ-cosθ-2=sin(θ-)-2.

∵-1≤sin(θ-)≤1,

∴--2≤y-x≤-2.

∴(y-x)_max=-2,(y-x)_min=--2.

解法三：（判别式法）设y-x=b,则y=x+b，代入方程x²+y²-4x+1=0,得

x²+(x+b)²-4x+1=0.

整理,得2x²+(2b-4)x+1+b²=0.

∴Δ=(2b-4)²-4×2(1+b²)≥0,解得--2≤b≤-2.

∴(y-x)_max=-2,(y-x)_min=--2.

深化升华

    遇有以标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²(r＞0)给出图,求Ax+By+C的最值问题，可以考虑圆的参数方程，也可以看作三角代换，即令转化为求三角函数的最值.