Question

（2011•东城区一模）已知函数f（x）=x³+ax²-x+c，且a=f′(

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)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设函数g（x）=（f（x）-x³）•e^x，若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²-x+c，得f'（x）=3x²+2ax-1．当x=

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时，得a=f ′(

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)=3×(

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)2+2f ′(

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)×(

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)-1，由此能求出a的值．
（Ⅱ）因为f（x）=x³-x²-x+c，从而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

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)(x-1)，列表讨论，能求出f（x）的单调递增区间和f（x）的单调递减区间．
（Ⅲ）函数g（x）=（f（x）-x³）•e^x=（-x²-x+c）•e^x，有g'（x）=（-2x-1）e^x+（-x²-x+c）e^x=（-x²-3x+c-1）e^x，
因为函数在区间x∈[-3，2]上单调递增，等价于h（x）=-x²-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，由此能求出实数c的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²-x+c，得f'（x）=3x²+2ax-1．
当x=

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时，得a=f ′(

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)=3×(

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)2+2f ′(

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)×(

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)-1，
解之，得a=-1．…（4分）
（Ⅱ）因为f（x）=x³-x²-x+c．
从而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

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)(x-1)，
由f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

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)(x-1)=0，得x1=-

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 ，x2=1，
列表如下：

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有极大值	↘	有极小值	↗

所以f（x）的单调递增区间是(-∞ ， -

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)和（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是(-

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 ， 1)．…（9分）
（Ⅲ）函数g（x）=（f（x）-x³）•e^x=（-x²-x+c）•e^x，
有g'（x）=（-2x-1）e^x+（-x²-x+c）e^x=（-x²-3x+c-1）e^x，
因为函数在区间x∈[-3，2]上单调递增，
等价于h（x）=-x²-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得c≥11，
所以c的取值范围是c≥11．…（14分）

点评：本题考查参数值的求法和单调区间的求法及求解实数的取值范围，考查运算求解能力，推导论证能力，考查分类讨论思想，转化化归思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．