题目内容
已知△ABC的两边长分别为AB=25，AC=39，且O为△ABC外接圆的圆心．（注：39=3×13，65=5×13）
（1）若外接圆O的半径为
，且角B为钝角，求BC边的长；
（2）求
•
的值．
（1）若外接圆O的半径为
| 65 |
| 2 |
（2）求
| AO |
| BC |
分析：（1）利用正弦定理列出关系式，将AB，AC及R的值代入求出sinB与sinC的值，由B为钝角，得到cosB小于00，cosC大于0，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cosB与cosC的值，再利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（B+C），将各自的值代入求出sin（B+C）的值，即为sinA的值，由R与sinA的值，利用正弦定理求出BC的长；
（2）由已知得：
+
=
，两边平方利用完全平方公式及平面向量的数量积运算法则化简，得到一个关系式，同理根据
+
=
，两边平方化简得到另一个关系式，两关系式相减，整理后即可求出所求式子的值．
（2）由已知得：
| AO |
| OC |
| AC |
| AO |
| OB |
| AB |
解答：解：（1）由正弦定理有
=
=2R（R为外接圆半径），
∴
=
=65，
∴sinB=
，sinC=
，又B为钝角，
∴cosC=
，cosB=-
，
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=
×
+
×（-
）=
，
又
=2R，∴BC=2RsinA=65sin（B+C）=16；
（2）由已知得：
+
=
，∴（
+
）2=
2，
即|
|2+2
•
+|
|2=|
|2=392，
同理
+
=
，∴|
|2+2
•
+|
|2=|
|2=252，
两式相减得：2
•
-2
•
=（39+25）（39-25）=896，
即2
•
=896，
则
•
=448．
| AB |
| sinC |
| AC |
| sinB |
∴
| 25 |
| sinC |
| 39 |
| sinB |
∴sinB=
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
∴cosC=
| 12 |
| 13 |
| 4 |
| 5 |
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 13 |
| 5 |
| 13 |
| 4 |
| 5 |
| 16 |
| 65 |
又
| BC |
| sinA |
（2）由已知得：
| AO |
| OC |
| AC |
| AO |
| OC |
| AC |
即|
| AO |
| AO |
| OC |
| OC |
| AC |
同理
| AO |
| OB |
| AB |
| AO |
| AO |
| OB |
| OB |
| AB |
两式相减得：2
| AO |
| OC |
| AO |
| OB |
即2
| AO |
| BC |
则
| AO |
| BC |
点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算法则，完全平方公式及平方差公式的运用，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
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,则其外接圆半径为_____________.
，且角B为钝角，求BC边的长；
的值．
，且角B为钝角，求BC边的长；
的值．