Question

 

设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；

（Ⅱ）用数学归纳法证明：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 Ⅰ）证明：，

故函数在区间(0,1)上是增函数；(4分)

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，

      （6分）

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；（6分）

（ⅱ）假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得

.而，则，

，也就是说当时，也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.  （12分）

（注：若解法不同，可参考此解法相应给分）。