Question

（本题满分12分）已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，侧棱与底面所成角为，点在底面上射影D落在BC上．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若点D恰为BC中点，且，求的大小；
（III）若，且当时，求二面角的大小．

Answer 1

解：（I）∵B₁D⊥平面ABC，AC平面ABC，∴
又∵，，∴AC⊥平面 
（II）
∴四边形为菱形，   又∵D为BC的中点，
∴为侧棱和底面所成的角，∴
∴，即侧棱与底面所成角．
（III）以C为原点，CA为x轴CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，
则A（a,0,0），B(0,a,0)，，平面ABC的法向量，设平面ABC₁的法向量为，
由，即， ，
∵二面角大小是锐二面角，∴二面角的大小是.   

略