Question

已知函数f（x）=x²-ax+3，对任意x∈R有f（1-x）=f（1+x）恒成立．
（1）求实数a的值；
（2）设函数g（x）=log_ax+m，对于任意的x₁，x₂∈[1，4]有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为函数f（x）对任意x∈R有f（1-x）=f（1+x）恒成立，
所以令x=1得：f（0）=f（2）即4-2a+3=3解得a=2；
（2）有（1）得f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2为对称轴为x=1，顶点坐标为（1，2）开口向上的抛物线，g（x）=log₂^x+m，
对于任意的x₁，x₂∈[1，4]有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，
则需求出f（x）的最小值为f（1）=2，则有g（1）＜2，即m＜2
分析：（1）令x等于1得到f（0）=f（2）代入求出a的值；
（2）由（1）得到f（x）的解析式，因为f（x₁）＞g（x₂）恒成立，即要f（x）的最小值大于g（x），求出f（x）的最小值，列出不等式求出m的范围即可．
点评：考查学生理解函数恒成立的条件，灵活运用函数的性质，会求二次函数最值的能力．