Question

如图，棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱．
（I）若P为线段A₁B的中点，求证CP⊥AB；
（II）若A₁B⊥AC₁，求二面角A₁-AC₁-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（I）证明线面垂直，利用三垂线定理，可得线线垂直；
（II）过AB=a，AA₁=b，过B作BE⊥AC于E，过E作EF⊥AC₁于F，连接BF，可得∠HFE为二面角B-AC₁-C的平面角，利用余弦定理可求二面角A₁-AC₁-B的大小；
解法二：（I）取AB中点O，以O为坐标原点建立直角坐标系，证明=0即可；
（II）求出平面A₁AC₁的一个法向量、平面BAC₁的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
解答：解法一：
（I）证明：取AB的中点O，连接PO、CO，…（1分）
∵棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱形，P是A₁B的中点，∴O是AB的中点，∴PO∥A₁A…（2分）
∴PO⊥平面ABC，∴CO是CP在平面ABC内的射影，
∵CO⊥AB．…（4分）∴CP⊥AB．…（5分）
（II）解：过AB=a，AA₁=b，过B作BE⊥AC于E，则BE⊥平面A₁C，
过E作EF⊥AC₁于F，连接BF，则BF⊥AC₁，∴∠HFE为二面角B-AC₁-C的平面角．…（7分）
在△ABC中，，延长CA到D，使CA=AD，连接A₁D，则A₁D∥C₁A
∵A₁B⊥AC₁，∴A₁D⊥A₁B，
在，
在△BAD中，由DA=BA=A，∠BAD=120°得BD²=a²+a²-2a•a•cos120°=2a²+a²=3a²，
在，∴3a²=2（a²+b²），∴，…（9分）
由Rt△AFE∽Rt△ACC₁得，，∴…（11分）
二面角A₁-AC₁-B的大小为π-arctan3．…（12分）
解法二：取AB中点O，以O为坐标原点建立如图直角坐标系，
设AB=2a，AA₁=h，则，…（1分）
（I）
∵，∴…（5分）
（II）解：，
∵，∴a•2a+0-h²=0，∴…（7分）
则，
设平面A₁AC₁的一个法向量为=（x，y，z），则
∴得平面A₁AC₁的一个法向量为…（8分）
又，
同理得平面BAC₁的一个法向量为…（9分）
∴，…（11分）
∴二面角A₁-AC₁-B的大小为．…（12分）
点评：本题考查线面垂直，线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．