题目内容

已知椭圆E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点为（1，0），且E的离心率e=
1
2
．
（1）求E的方程；
（2）过圆O：x2+y2=
12
7
上任意一点P引O的切线l与E相交于A、B两点，求证：∠AOB为定值．
分析：（1）由椭圆E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点为（1，0），离心率e=
1
2
，知
c=1
e=
c
a
=
1
2
由此能求出E的方程．
（2）设过圆O：x2+y2=
12
7
上任意一点P的切线l的方程为y=kx+m，由点到直线的距离公式求得m=±
12
7
(k2+1)
，不妨取l方程为：y=kx+
12
7
(k2+1)
，联立
y=kx+
12
7
(k2+1)
x2
4
+
y2
3
=1
，得（4k2+3）x+8k
12
7
(k2+1)
x+
48
7
k2-
36
7
=0，利用韦达定理推导出
OA
⊥
OB
，由此得到∠AOB=
π
2
为定值．
解答：解：（1）∵椭圆E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点为（1，0），离心率e=
1
2
，
∴
c=1
e=
c
a
=
1
2
，∴a=2，c=1，b2=4-1=3．
∴E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）设过圆O：x2+y2=
12
7
上任意一点P的切线l的方程为y=kx+m，
则
||0+0+m|
k2+1
=
12
7
，解得m=±
12
7
(k2+1)
，
不妨取m=
12
7
(k2+1)
，则l的方程为：y=kx+
12
7
(k2+1)
，
联立
y=kx+
12
7
(k2+1)
x2
4
+
y2
3
=1
，
消去y，整理得（4k2+3）x+8k
12
7
(k2+1)
x+
48
7
k2-
36
7
=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-
8k
12
7
(k2+1)
4k2+3
，x1x2=
48
7
k2-
36
7
4k2+3
，
∴y1y2=（kx1+
12
7
(k2+1)
）（kx2+
12
7
(k2+1)
）
=k2x1x2+k
12
7
(k2+1)
(x1+x2)+
12
7
(k2+1)
=
48
7
k4-
36
7
k2
4k2+3
-
96k2(k2+1)
7
4k2+3
+
12
7
(k2+1)
=
36
7
-
48
7
k2
4k2+3
．
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=
48
7
k2-
36
7
4k2+3
+
36
7
-
48
7
k2
4k2+3
=0．
∴
OA
⊥
OB
，
∴∠AOB=
π
2
为定值．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系的综合运用．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量知识的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
2
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
2
．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
（1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
（2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
2
-1），求此时的椭圆方程；
（3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
2
2
，-
3
3
）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的离心率e=
1
2
．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
 （1）求椭圆E的方程；
 （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．
（2012•佛山二模）已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-
3
，0)，而且过点H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
已知椭圆E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e=
3
2
，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

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