Question

已知一几何体的三视图如图(甲)示，(三视图中已经给出各投影面顶点的标记)

(1)在已给出的一个面上(图乙)，画出该几何体的直观图；

(2)设点F、H、G分别为AC、AD、DE的中点，求证：FG∥平面ABE；

(3)求该几何体的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)该几何体的直观图如图示：　　4分 　　(说明：画出AC平面ABCD得2分，其余2分，其他画法可按实际酌情给分) 　　(2)证法一：取BA的中点I，连接FI、IE， 　　∵F、I分别为AC、AB的中点，∴FIBC　　5分 　　∵BC∥ED　∴FIED， 　　又EG＝ED，∴FIEG 　　∴四边形EGFI为平行四边形　　7分 　　∴EI∥FG 　　又∵面，面　∴FG∥平面ABE　　9分 　　证法二：由图(甲)知四边形CBED为正方形 　　∵F、H、G分别为AC，AD，DE的中点 　　∴FH∥CD，HG∥AE　　5分 　　∵CD∥BE，∴FH∥BE 　　∵面，面 　　∴面　　7分 　　同理可得面 　　又∵　∴平面FHG∥平面ABE　　8分 　　又∵面　∴FG∥平面ABE　　9分 　　(3)由图甲知ACCD，ACBC， 　　∴AC平面ABCD，即AC为四棱棱锥的高　　10分 　　∵底面ABCD是一个正方形，　　12分 　　∴该几何体的体积： 　　　　14分