Question

  已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x²+y²+z²=，

证明:x，y，z∈［0，］

Answer 1

证明略

解析:

证法一: 由x+y+z=1，x²+y²+z²=，得x²+y²+(1－x－y)²=，整理成关于y的一元二次方程得:

2y²－2(1－x)y+2x²－2x+=0，∵y∈R，故Δ≥0

∴4(1－x)²－4×2(2x²－2x+)≥0，得0≤x≤，∴x∈［0，］

同理可得y，z∈［0，］

证法二: 设x=+x′，y=+y′，z=+z′，则x′+y′+z′=0，

于是=(+x′)²+(+y′)²+(+z′)²

=+x′²+y′²+z′²+ (x′+y′+z′)

=+x′²+y′²+z′²≥+x′²+=+x′²

故x′²≤，x′∈［－，］，x∈［0，］，同理y，z∈［0，］

证法三: 设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x²＞0，

=x²+y²+z²≥x²+＞，矛盾 

x、y、z三数中若有最大者大于，不妨设x＞，

则=x²+y²+z²≥x²+=x²+=x²－x+

=x(x－)+＞  矛盾 

故x、y、z∈［0，］