Question

.已知椭圆离心率，焦点到椭圆上的点的最短距离为．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）设直线l：y=kx+1与椭圆交与M，N两点，当时，求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）由已知得，
∵，
∴
∴椭圆的标准方程为（6分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由得（4k²+1）x²+8kx=0…（8分）
△=64k²，
∵直线l：y=kx+1与椭圆交与M，N两点，
∴
∴|MN|=
=
=，
∴k=±1，或，（10分）
∴直线方程为y=x+1，或y=-x+1，或y=，或y=-．（14分）
分析：（1）由已知得，，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由得（4k²+1）x²+8kx=0．再由根的判别式和韦达定理能求出直线l的方程．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．