Question

已知圆的方程为x²+y²+ax+2y+a²=0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范围．

Answer 1

分析：圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，过定点A（1，2）作圆的切线有两条，点A必在圆外，推出不等式，然后解答不等式即可．

解答：解：将圆的方程配方得（x+

a

2

）²+（y+1）²=

4-3a2

4

，圆心C的坐标为（-

a

2

，-1），半径r=

4-3a2 4

，
条件是4-3a²＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即

(1+ a 2 )2+(2+1)2

＞

4-3a2 4

．
化简得a²+a+9＞0．
由4-3a²＞0，a²+a+9＞0，
解之得-

2 3

3

＜a＜

2 3

3

，
a∈R．
∴-

2 3

3

＜a＜

2 3

3

．
故a的取值范围是（-

2 3

3

，

2 3

3

）．

点评：本题考查圆的切线方程，直线和圆的方程的应用，考查一元二次不等式的解法，逻辑思维能力，是中档题．