Question

【题目】已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ）．

（1）若，求的值；

（2）若记f（θ）=，θ∈[0，]．当1≤λ≤2时，求f（θ）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）1 ； （2）--1.

【解析】

（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案；

（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f（θ）＝2cos2（θ）﹣2λcos（θ）﹣1，令t＝cos（θ），根据二次函数的性质即可求出．

（1）∵向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ），

∴-=（cosθ-cosβ，sinθ-sinβ），

∴|-|2=（cosθ-cosβ）2+（sinθ-sinβ）2=2-2cos（θ-β）=2-2cos=2-1=1，

∴|-|=1；

（2）=cosθcosβ+sinθsinβ=cos（θ-β）=cos（2θ-），

∴|+|==2|cos（θ-）|=2cos（θ-），

∴f（θ）=cos（2θ-）-2λcos（θ-）=2cos2（θ-）-2λcos（θ-）-1

令t=cos（θ-），则t∈[，1]，

∴f（t）=2t2-2λt-1=2（t-）2--1，

又1≤λ≤2，≤≤1，

∴t=时，f（t）有最小值--1，

∴f（θ）的最小值为--1．