Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2-a_n，数列{b_n}满足b₁=1，b₃+b₇=18，且b_n-1+b_n+1=2b_n（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由前n项和与第n项的关系，可得，求出此等比数列的通项公式；由b_n-1+b_n+1=2b_n（n≥2）知，数列{b_n}是等差数列，由，求得，从而写出等差数列 的通项公式．
（Ⅱ），用错位相加法进行数列求和，得到T_n 的结果．
解答：解：（Ⅰ）由题意S_n=2-a_n ①，当n≥2时，S_n-1=2-a_n-1 ②，①-②得  a_n=S_n-S_n-1 =a_n-1-a_n ，
即，又a₁=S₁=2-a₁，∴a₁=1，故数列{a_n}是以1为首项，为公比的等比数列，所以．
由b_n-1+b_n+1=2b_n（n≥2）知，数列{b_n}是等差数列，设其公差为d，
则，所以，b_n=b₁+（n-1）d=2n-1；
综上，数列{a_n}和{b_n}的通项公式为 ．
（Ⅱ），=  ③
∴2T_n=1×2¹+3×2²++（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，④
③-④得-T_n=1+2（2¹+2²+2³++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
整理得，所以T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．
点评：本题考查等比数列的性质，等比数列的通项公式，等差数列的性质，等差数列的通项公式，根据递推关系求通项，用错位相加法进行数列求和，用错位相加法求出T_n=（2n-3）•2ⁿ+3，是解题的难点．