Question

20．设p：函数f（x）=log₂（ax²-x+a）的值域为R，q：（log₂x）²-4log₂x+a+2≥0对x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立，若p且q为假，p或q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q中a的取值，然后判断p，q的真假情况，根据p，q的真假情况，即可求出a的取值范围．

解答 解 由p令u=ax²-x+a①当a=0时，u=-x值域为R符合题意，
②$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4{a}^{2}≥0}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{1}{2}$ 综上所述，当p为真命题是a的取值范围是[0，$\frac{1}{2}$]
由q：（log₂x）²-4log₂x+a+2≥0对x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立，
令t=log₂x，t∈[-2，0]，所以a+2≥0，即a≥-2
当p为真命题，q为假命题时，则a∈∅
当p为假命题，q为真命题时，则a∈[-2，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞），
综上，a的范围为[-2，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题函数的值域函数恒成立的问题，p或q，p且q的真假情况，换元是关键，属于中档题．