Question

函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点为x₁，x₂（x₁≠x₂），且|x₁|+|x₂|=2

2

，则b的最大值是______．

Answer 1

∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
∵函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点为x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴f'（x）=0有两不等实根x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴△＞0，∴b²+3a³＞0，恒成立，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=-

a

3

，∵|x₁|+|x₂|=2

2

，
∴（|x₁|+|x₂|）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，
∴(-

2b

3a

)2+

4a

3

=8，∴b²=-3a³+18a²
设t=-3a³+18a²，则t′=-9a²+36a=-9a（a-4）（a＞0），
令t′＞0，得0＜a＜4，t′＜0，得a＞4，
t在（0，4]是增函数，在[4，+∞）是减函数，
∴a=4取得t最大96，∴b²最大值为96，∴b_max=4

6

故答案为：4

6

．