Question

已知（1+3x²）ⁿ的展开式中，各项系数和为A_n，二项式系数和为B_n，设A_n-B_n=992．
（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）由题意，可令x=1解出各项系数和为A_n，再由二项式系数和公式求出二项式系数和为B_n，代入A_n-B_n=992，解可解出n的值．
（2）由（1）n=5，可得展开式中二项式系数最大的项是第三，四两项，由项的公式求出此二项即可；
（3）法一：由题意T_r+1=C₅^r（3x²）^r=3^rC₅^rx^2r，由此知，展开式中系数最大的项必满足

3r C 5 r ≥3r-1 C 5 r-1 3r C 5 r ≥3r+1 C 5 r+1

，由此不等式组解出r的取值范围，判断出它的值．
法二：展开二项式，化简各项的系数，得：（1+3x²）⁵=1+3C₅¹x²+9C₅²x⁴+27C₅³x⁶+81C₅⁴x⁸+243C₅⁵x¹⁰=1+15x²+90x⁴+270x⁶+405x⁸+243x¹⁰，观察即可得出最大项

解答：解（1）令x=1，则展开式中各项系数和为A_n=（1+3）ⁿ=2²ⁿ，…（2分）
二项式系数和为B_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ，…（4分）
则A_n-B_n=2²ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5．…（6分）
（2）因为n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
所以T₃=C₅²（3x²）²=90x⁴，T₄=C₅³（3x²）³=270x⁶．…（10分）
（3）设展开式中第r+1项系数最大，则T_r+1=C₅^r（3x²）^r=3^rC₅^rx^2r，
依题意，

3r C r 5 ≥3r-1 C r-1 5 3r C r 5 ≥3r+1 C r+1 5

，解得

7

2

≤r≤

9

2

，故r=4．…（13分）
即展开式中第5项系数最大，T₅=C₅⁴（3x²）⁴=405x⁸．…（14分）
解法二：（1+3x²）⁵=1+3C₅¹x²+9C₅²x⁴+27C₅³x⁶+81C₅⁴x⁸+243C₅⁵x¹⁰=1+15x²+90x⁴+270x⁶+405x⁸+243x¹⁰，
即展开式中第5项系数最大，T₅=405x⁸．…（14分）

点评：本题考点是二项式系数的性质，考查了二项式系数和的求法与二项式各项系数和的求法，二项式项的展开式，解题的关键是理解二项式系数与项的系数概念，掌握二工项的展开式公式，本题的难点是第三小题的求解，理解最大项的意义是解题的切入点，法一用的是项最大的意义，法二是求出各项的值，从而比较系数得出结论，法一偏重于逻辑推理，法二偏重于计算，可根据具体情况选择合适的方法