Question

（1）一元二次不等式ax²+bx+2＞0的解集是(-

1

2

，

1

3

)，求bx²+2x-a＜0的解集
（2）已知a≥0，b≥0，a+b=1，求

a+ 1 2

+

b+ 1 2

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，-

1

2

，

1

3

是方程ax²+bx+2=0的两个根，由方程的根与系数的关系可求a，b，代入所求的不等式即可求解
（2）可令y=

a+ 1 2

+

b+ 1 2

，则由a+b=1，a＞0，b＞0可考虑对所求式子平方可得，y2=2+2

ab+ 3 4

，由基本不等式可求取值范围

解答：解：（1）由题意可得，-

1

2

，

1

3

是方程ax²+bx+2=0的两个根
由方程的根与系数的关系可得，

- b a =- 1 2 + 1 3 2 a =- 1 2 × 1 3

∴a=-12，b=-2
∵bx²+2x-a＜0
∴-2x²+2x+12＜0
即x²-x-6＞0
解之得，x＞3或x＜-2
∴所求不等式的解集为{x|x＜-2或x＞3}                   …（6分）
（2）∵a+b=1，a＞0，b＞0
令y=

a+ 1 2

+

b+ 1 2

，
则y2=a+

1

2

+b+

1

2

+2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

=2+2

ab+ 3 4

∵0＜ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

∴

3

4

＜ab+ 

3

4

≤1
∴2+

3

≤y2≤4
∴

2 + 6

2

≤y≤2…（12分）
即

a+ 1 2

+

b+ 1 2

的取值范围为

6 +  2

2

≤y≤2

点评：本题主要考查了一元二次方程与二次不等式之间的相互转化，方程的根与系数关系的应用，基本不等式求解函数的最值的应用，属于基本知识的综合应用．