题目内容
已知函数f（x）=loga
（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（1,+∞）上的单调性,并予以证明．
【答案】
（１）
；（２）奇函数；（３）略
【解析】（1）
f（x）的定义域为-----------------------（3分）
（2）
对定义域内的任意
恒成立，所以函数为奇函数-----------------------（3分）
（3）法一：求导得
，
①当
时，
在
上都是减函数；
②当
时，
上都是增函数；
法二：设
，任取
，
=
=
．-------------------（9分）
∵x1＞1,x2＞1,∴x1－1＞0,x2－1＞0．又∵x1＜x2,∴x1－x2＜0．
∴＜0,即
，
当a＞1时,y=logax是增函数,∴loga
＜loga
,
即f（x2）＜f（x1）;
当0＜a＜1时,y=logax是减函数,
∴loga<loga, 即f（x2）＞f（x1）．
综上可知,当a＞1时,f（x）=loga
在（1,+∞）上为减函数;
当0＜a＜1时,f（x）=loga在（1,+∞）上为增函数．-----------------------（12分）
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