Question

如果直线y=kx+1与x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，若P（a，b）为平面区域

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

内任意一点，则

b+1

a-1

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先由条件求出k=1，m=-1，再画出对应的平面区域，把

b+1

a-1

看成平面区域内的点与（1，-1）连线的斜率，利用图形可得结论．

解答：解：∵直线y=kx+1与x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，
且M、N关于直线x+y=0对称，
∴直线y=kx+1与直线x+y=0垂直且直线x+y=0过x²+y²+kx+my-4=0的圆心．
∴k=1，m=-1
∴点P（a，b）所在平面区域为

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

，如图
又因为

b+1

a-1

表示点P（a，b）与点（1，-1）连线的斜率．
故当过点B（-1，0）时，

b+1

a-1

取最大值-

1

2

．
当过A（-

1

2

，

1

2

）或O（0，0）时，

b+1

a-1

取最小值-1．
故答案为[-1，-

1

2

]．

点评：本题是简单的线性规划与直线和直线以及直线与圆的位置关系的一道综合题，是队知识的综合考查．利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与（1，-1）的斜率．