Question

（1）我潜艇在海岛A南偏西

π

6

，相距海岛12海里的B处，发现敌舰正由海岛A朝正东方向以10节的速度航行，我潜艇要用2小时追上敌舰，求我潜艇需要的速度大小（1节等于每小时 1海里）；
（2）如果直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的右支有两个不同的公共点，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设在点C出追上敌舰，设潜艇航速x节，在三角形ABC中，AB=12，BC=20，AC=2x，∠BAC=

π

6

+

π

2

=

2π

3

，由余弦定理可求
（2）联立方程

y=kx-1 x2-y2=1

消去y可得（1-k²）x²+2kx-2=0，结合题意可得此方程有2个不同的正根，结合方程的根的分布可求k的范围

解答：解：（1）设在点C出追上敌舰，设潜艇航速x节
在三角形ABC中，AB=12，BC=20，AC=2x，∠BAC=

π

6

+

π

2

=

2π

3

由余弦定理可得，cosABC=

BA2+BC2-AC2

2BA•BC

=

122+202-(2x)2

2•12•20

=-

1

2

可解得x=14                    
（2）联立方程

y=kx-1 x2-y2=1

消去y可得（1-k²）x²+2kx-2=0，
则有

1-k2≠0 △＞0 -2k 1-k2 ＞0 -2 1-k2 ＞0

⇒1＜m＜

2

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 -2k 1-k2 ＞0 -2 1-k2 ＞0

∴

k2≠1 k2＜2 k k2-1 ＞0 2 k2-1 ＞0

∴

k≠±1 - 2 ＜k＜ 2 k＞0或-1＜k＜0 k＞1或k＜-1

∴1＜k＜

2

点评：本题主要考查了余弦定理在求解实际问题中的应用及直线与双曲线相交关系的应用，属于知识的简单应用．