Question

已知数列{a_n}，a_n＞0，且3(

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

)=(2n+1)(a1+a2+…+an)．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（I）因为n≥1时，3(

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

)=(2n+1)(a1+a2+…+an)，分别令n=1，2，3．从而求出a_n，再根据求出的结果猜想a_n=n即可；
（II）先根据当n=1时，把n=1代入求值不等式成立；再假设n=k时关系成立，利用变形可得n=k+1时关系也成立，综合得到对于任意n∈N^*时都成立．

解答：解：（1）a₁=1，a₂=2，a₃=3，猜想a_n=n．
（2）假设n≤k成立，即a_k=k，
下证n=k+1时，
3(

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 k

+

a

2 k+1

)=3(

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 k

)+3

a

2 k+1

=(2k+1) • 

k(k+1)

2

+3

a

2 k+1

=(2k+3)[

k(k+1)

2

+ak+1]
∴由3

a

2 k+1

-(2k+3)ak+1-k(k+1)=0，
解得a_k+1=k+1
综上，a_n=n（n∈N^*），

点评：本题考查归纳推理，考查数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．