Question

7．如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD不经过点O，AC平分∠BAD，经过点C的直线分别交AB、AD的延长线于E、F，且CD²=AB•DF．
（1）△ABC～△CDF；
（2）EF是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）先证明BC=CD，利用CD²=AB•DF，可得$\frac{BC}{DF}$=$\frac{AB}{CD}$，由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠ABC=∠CDF，即可证明△ABC～△CDF；
（2）证明OC⊥EF，即可证明EF是⊙O的切线．

解答 证明：（1）∵AC平分∠BAD，
∠BAC=∠CAD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴BC=CD，
∵CD²=AB•DF，
∴BC•CD=AB•DF，
∴$\frac{BC}{DF}$=$\frac{AB}{CD}$，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=∠CDF，
∴△ABC～△CDF；
（2）连接OC，
∵△ABC～△CDF，
∴∠BAC=∠DCF，
∵∠BDC=∠DCF，
∴∠BDC=∠DCF，
∴EF∥BD，
∵BC=CD，BD不经过点O，
∴OC⊥BD，
∴OC⊥EF，
∴EF是⊙O的切线．

点评 本题考查三角形相似的判定，考查圆的切线的证明，考查相似分析解决问题的能力，属于中档题．