Question

若直线ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²+2x+2y=0的周长，则

1

a

+

1

b

的最小值是：

 

．

Answer 1

分析：说明过圆心，由此可得a，b的关系，用此关系对

1

a

+

1

b

变形用基本不等式求最值可．

解答：解：直线ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²+2x+2y=0的周长，且圆心坐标是（-1，-1）
故a+b=1
所以

1

a

+

1

b

=(a+b)(

1

a

+

1

b

)=2+

b

a

+

a

b

≥4等号当且仅当

b

a

=

a

b

，即a=b=1时等号成立，
故

1

a

+

1

b

的最小值是4；
故答案为：4．

点评：本题考查基本不等式求最值，本题中根据题目条件构造出了可以利用基本不等式求最值的形式，属于积定和最小型．本题也考查了直线与圆的位置关系．