Question

(本小题满分12分) 设不等式组 表示的平面区域为,区域内的动点到直线和直线的距离之积为2, 记点的轨迹为曲线. 是否存在过点的直线l, 使之与曲线交于相异两点、,且以线段为直径的圆与y轴相切？若存在,求出直线l的斜率;若不存在, 说明理由．

Answer 1

解析：由题意可知，平面区域如图阴影所示．设动点为，则

，即

．

由知，x－y<0，即x²－y²<0．

所以y²－x²＝4(y＞0)，即曲线的方程为

－＝1(y＞0)     

设，，则以线段为直径的圆的圆心为.

因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径 ，即

        

因为直线AB过点F(2，0)，当AB ^ x轴时，不合题意．所以设直线AB的方程为y＝k(x－2)．代入双曲线方程－＝1(y＞0)得:

k²(x－2)²－x²＝4，即

(k²－1)x²－4k²x＋(8k²－4)＝0．

因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．于是

x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．

故   |AB|＝＝  

＝＝|x₁＋x₂|＝||，

化简得：k⁴＋2k²－1＝0

解得: k²＝－1  （k²＝－－1不合题意，舍去）．

由△＝(4k²)²－4(k²－1)(8k²－4)＝3k²－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－ ．

所以, k＝－