Question

已知球O_l、O₂的半径分别为l、r，体积分别为V₁、V₂，表面积分别为S₁、S₂，当r∈（1，+∞）时，

V2-V1

S2-S1

的取值范围是

（

1

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：根据球的体积和表面积公式，代入

V2-V1

S2-S1

化简可得

1

3

[（r+1）+

1

r+1

-1]，令t=r+1，由r∈（1，+∞）可得t∈（2，+∞），结合对勾函数的单调性，可得答案．

解答：解：令

V2-V1

S2-S1

=

4 3 π(r3-1)

4π(r2-1)

=

(r3-1)

3(r2-1)

=

r2+r+1

3(r +1 )

=

(r+1)2-(r+1)+1

3(r +1)

=

1

3

[（r+1）+

1

r+1

-1]
令t=r+1，由r∈（1，+∞）可得t∈（2，+∞）
∵y=t+

1

t

在（2，+∞）上单调递增，当t=2时t+

1

t

=

5

2

故

V2-V1

S2-S1

=

1

3

[（r+1）+

1

r+1

-1]＞

1

3

（

5

2

-1）=

1

2

故

V2-V1

S2-S1

的取值范围是（

1

2

，+∞）
故答案为：（

1

2

，+∞）

点评：本题以球的体积和表面积公式为载体考查了对勾函数的应用，对应函数是高中数学课本没有但用途很广的函数之一，特别是其单调性和极值一定要熟练掌握．