Question

（2012•许昌二模）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4+x）=f（x），且在区间[0，2]上是增函数，那么f（0）＜0是函数f（x）在区间[0，6]上有3个零点的（　　）

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：由f（x+4）=f（x）得出函数的周期是4，然后利用函数奇偶性与单调性的关系，判断f（0）＜0与函数f（x）在区间[0，6]上有3个零点之间的推出关系，最后根据充要条件的定义得出答案．

解答：解：因为f（x+4）=f（x），所以函数f（x）的周期是4．
因为函数在区间[0，2]上是增函数，且函数f（x）是偶函数，所以函数f（x）在区间[2，4]上单调递减．

若函数f（x）在区间[0，6]上有3个零点，则f（0）＜0，f（2）＞0，如图．


反之，若f（0）＜0，f（2）＜0，如图，则函数f（x）在区间[0，6]上没有零点，

故f（0）＜0是函数f（x）在区间[0，6]上有3个零点的必要不充分条件．

故选C．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性，周期性和单调性之间的关系．正确理解函数的这几个性质是解决本题的关键．