Question

已知A＝{(x，y)|x＝n，y＝an＋b，n∈Z}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m²＋15，m∈Z}，C＝{(x，y)|x²＋y²≤144}，是坐标平面内的点集，问是否存在实数a，b使得(1)A∩B≠φ，(2)(a，b)∈C同时成立．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：假设在a，b使得(1)成立，则集合A＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z}与集合B＝{(x，y)|y＝3x2＋15，x∈Z}，相对应的方程y＝ax＋b与y＝3x2＋15至少要有公共点，即方程组有公共解，所以方程3x2＋15＝ax＋b必有解．因此，△＝a2－12(15－b)≥0即－a2≤12b－180　　　　① 　　又∵(a，b)∈C，∴a2＋b2≤144　　　　② 　　①②相加得b2≤12b－36即(b－6)2≤0，∴b＝6． 　　将b＝6代入①得a2≥108；再将b＝6代入②得a2≤108，因此a2＝108， 　　∴a＝±6．再将a＝±6，b＝6代入原方程得：3x2±6x＋9＝0， 　　解得x＝±Z．所以不存在实数a，b，使①，②同时成立． 　　解法2：由A∩B≠φ，表示存在正整数n，使得na＋b＝3n2＋15，(a，b)∈C， 　　即a2＋b2≤144，因此原题等价于关于a，b的混合组是否有实数解． 　　∵(3n2＋15)2＝(na＋b)2≤(n2＋1)(a2＋b2)≤144(n2＋1)，即(n2－3)2≤0． 　　∴n2－3＝0，n＝±，这与n∈Z矛盾．故不存在实数a，b，使(1)，(2)同时成立． 　　思想方法小结：解法1中的△≥0只能保证直线与抛物线有公共点，但这个公共点不一定是整数点．由于求得的a，b不能使两条曲线的交点为整数点，所以符合题意的a，b当然不存在了．解法2中，(na＋b)2＝n2a2＋2nab＋b2≤n2a2＋a2＋n2b2＋b2＝(n2＋1)(a2＋b2)．其中运用了：若x，y为实数，则有2xy≤x2＋y2．

提示：

假设存在实数a，b，则(a，b)∈A且(a，b)∈B且(a，b)∈C，即y＝ax＋b与y＝3x2＋15有公共解．