Question

已知函数y=sinxcosx-sin²x，
（1）指出函数的对称轴、对称中心；
（2）指出函数的单调递增区间；
（3）函数在[-，-]上的最大、最小值，并指出取得最大、最小值时的x的值．

Answer 1

解：y=sinxcosx-sin²x=sin（2x+）-，
（1）对称轴：由2x+=kπ+得x=，k∈Z；
对称中心：由2x+=kπ得x=，
∴函数图象的对称中心为（，-）k∈Z．
（2）由2x+∈[2kπ-，2kπ+]得x∈[kπ-，kπ+]，k∈Z，
∴[kπ-，kπ+]，k∈Z．
（3）将2x+视为一个角θ，∵x∈（-，-]
∴θ∈（-π，]，画函数y=sinθ的草图，观察θ∈（-π，]时函数值的范围为[-1，]，
当且仅当θ=-时sinθ取得最小值-1，θ=时sinθ取得最大值；
即x=-时原函数最小值-2-，x=-时原函数最大值1-．
分析：利用二倍角公式，以及两角和的正弦函数，化简函数y=sinxcosx-sin²x为：y=sin（2x+）-，
（1）根据正弦函数的对称轴，对称中心的横坐标，求出函数y=sinxcosx-sin²x的对称轴、对称中心．
（2）利用正弦函数的单调增区间，求出函数y=sinxcosx-sin²x的单调增区间即可．
（3）根据[-，-]求出2x+的取值范围，然后求出函数的最大值以及最小值，写出最值时的x的值．
点评：本题是中档题，考查利用二倍角和两角和的正弦函数化简三角函数，利用基本函数的性质，求解三角函数的性质，是解好数学问题的常用方法．