Question

【题目】设函数在点处的切线方程是

（1）求实数的值.

（2）若方程有唯一实数解，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）求得函数的导数，根据题设条件，得到，，即可求解；

（2）由方程有唯一实数解，得有唯一实数解，

设，利用导数得到函数的单调性与最小值，再由有唯一解，转化为，设函数，再由至多有一解，得到，代入方程组，即可求解.

（1）由题意，函数，则，

当时，，所以，

又由，解得.

（2）由（1）可得，

因为方程有唯一实数解，

所以有唯一实数解，

设，则，

令，则，

因为，所以，方程有两异号根，设为，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

当时，取最小值，

当时，，当时，，

因为有唯一解，所以，则，即，

因为，所以，（*）

设函数，

因为当时，是增函数，所以至多有一解，

因为，所以方程（*）的解为，

代入方程组解得.