Question

若函数f（x）=-x²+2ax与g（x）=log_（1-a²）（2x-1）在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-1，0）∪（0，1]

C．（0，1）

D．（0，1]

Answer 1

分析：f（x）=-x²+2ax在区间[1，2]上是减函数，得[1，2]为其减区间的子集，从而得a的一个限制条件；
g（x）=log_（1-a²）（2x-1）在区间[1，2]上是减函数，t=2x-1单调递增，根据复合函数单调性的判定方法，知y=log(1-a2)t单调递减，且t=2x-1＞0在[1，2]上恒成立，
由此得a的另一限制条件，取其交集即可．

解答：解：∵f（x）=-x²+2ax的图象是开口朝下，以x=a为对称轴的抛物线，
f（x）=-x²+2ax在区间[1，2]上是减函数，∴a≤1①；
因为g（x）=log_（1-a²）（2x-1）在区间[1，2]上是减函数，t=2x-1单调递增，
所以y=log(1-a2)t单调递减，且t=2x-1＞0在[1，2]上恒成立，
故有

0＜1-a2＜1 2×1-1＞0

，解得-1＜a＜0或0＜a＜1②；
综①②，得-1＜a＜0或0＜a＜1，即实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．
故选A．

点评：本题考查复合函数的单调性、对数函数、一次、二次函数的单调性问题，具有一定综合性，复合函数单调性的判定方法是：同增异减．