Question

如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．
（1）求证：AB是⊙O切线；
（2）若∠B=30°，且AB=4

3

，求

ECF

的长（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）连接OC，利用等边三角形底边上的中线即是底边上的高，即可证明．
（2）由∠B=30°，可求出圆心角，AB=4

3

，解直角三角形可求出圆的半径，然后利用弧长公式计算．

解答：证明：（1）连接OC，
∵OA=OB，C是AB的中点，
∴OC⊥AB．
∵点C在⊙O上，
∴AB是⊙O切线．（4分）
解：（2）∵OA=OB，∠B=30°，
∴∠EOF=120°．
∵C为AB的中点，AB=4

3

，
∴BC=2

3

．
在Rt△OCB中，令OC=r，则OB=2r，
列出方程为（2r）²-r²=（ 2

3

）²
解得：r=2．（3分）

ECF

的长=

120×π×2

180

=

4

3

π．（3分）

点评：本题综合考查了圆的切线的判定定理的证明、等边三角形的三线合一性质，及弧长公式的计算能力．属于基础题．