Question

已知函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，则|x₁-x₂|的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由题意得：f（x）=3ax²+2bx+c，x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，由韦达定理得，x₁+x₂=，x₁x₂=，于是求
=，又a+b+c=0，从而有=•+（）+①，又f（0）•f（1）＞0，可求得-2＜＜-1，代入①即可求得的范围，从而得到选项．
解答：解：由题意得：f（x）=3ax²+2bx+c，
∵x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，故x₁+x₂=，x₁x₂=，
∴=-4x₁•x₂=，
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
∴===•+（）+①，
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a²+3ab+b²＜0，
∵a≠0，两边同除以a²得：
+3+2＜0；
∴-2＜＜-1，代入①得∈[，）
∴|x₁-x₂|∈[，）．
故选A．
点评：本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“f（0）•f（1）＞0”的挖掘，充分考察数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．