题目内容

设F₁，F₂是椭圆 $数学公式$ 的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF₁|：|PF₂|=4：3，则△PF₁F₂的面积为

A.
30
B.
.25
C.
24
D.
.40

C
分析：利用椭圆的定义，求出|PF₁|，|PF₂|，推出△PF₁F₂是直角三角形，通过面积S_△PF1F2= $\text{[math]}$ ×|PF¹|×|PF²|求解即可．
解答：∵|PF₁|：|PF₂|=4：3，
∴可设|PF₁|=4k，|PF₂|=3k，
由题意可知3k+4k=2a=14，
∴k=2，
∴|PF₁|=8，|PF₂|=6，
∵|F₁F₂|=10，
∴△PF₁F₂是直角三角形，
其面积= $\text{[math]}$ ×|PF¹|×|PF²|= $\text{[math]}$ ×6×8=24．
故选C．
点评：本题考查椭圆的性质，判断出△PF₁F₂是直角三角形能够简化运算，考查计算能力．

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设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，F₁F₂=8，P是椭圆上的点，PF₁+PF₂=10，且PF₁⊥PF₂，则点P的个数是

设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF₁F₂是（　　）

A.钝角三角形 B.锐角三角形

C.斜三角形 D.直角三角形

（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）

我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。

（1）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线的距离分别为d₁、d₂，试求d₁·d₂的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。

（2）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线（m、n不同时为0）的距离分别为d₁、d₂，且直线L与椭圆M相切，试求d₁·d₂的值。

（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。

（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。

设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，以F₁为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M，若直线F₂M与圆F₁相切，则该椭圆的离心率是

设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，

则的面积为（）

A．4 B．6 C． D．