题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）若 $数学公式$ 的值．
（3）若曲线f（x）在点P（x₀，f（x₀）） $数学公式$ 处的切线平行直线 $数学公式$ ，求x₀的值．

解（1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （2分）
由 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （4分）
则 $\text{[math]}$ （6分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ （7分）
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （8分）
∴ $\text{[math]}$ =2sin（x+ $\text{[math]}$ ）cos（x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （10分）
（3）f^/（x）=cosx-sinx
由题意得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （12分）
∴ $\text{[math]}$ 又∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （14分）
分析：（1）根据分式有意义的条件可得，cosx≠0，求解即可得函数的定义域；利用二倍角公式及辅助角对函数化简可得f（x）= $\text{[math]}$ ，结合正弦函数性质可求函数的值域，
（2）由于cos2x=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=sin[2（x+ $\text{[math]}$ ）]，故需要求sin（x+ $\text{[math]}$ ），cos（x+ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 代入可求sin（x+ $\text{[math]}$ ），结合已知条件中 x的范围可求cos（x+ $\text{[math]}$ ），然后代入可求，
（3）对函数求导可得，f^/（x）=cosx-sinx代入已知可得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
从而可得 $\text{[math]}$ 结合 $\text{[math]}$ 可求．
点评：本题主要考查了正弦函数的定义域及值域的求解，辅助角公式的应用，导数的基本运算，及由三角函数值求解角等知识的综合运用．